Formalną edukację muzyczną rozpoczął dwa lata później, a zakończył uzyskaniem dyplomu gdańskiej Akademii Muzycznej w 1996 roku. Jego nauka obejmowała muzykę klasyczną, a jazzem zainteresował się, będąc w klasie maturalnej.
W 1993 roku otrzymał indywidualne wyróżnienie na konkursie Jazz Juniors. Była to jego pierwsza z wielu nagród. Kolejne otrzymywał jedną po drugiej. Niemałym osiągnięciem jest dziesięciokrotne zwycięstwo w ankiecie miesięcznika Jazz Forum na najlepszego pianistę roku.
Gdy Możdżer miał 20 lat, Tymon Tymański zaprosił go do zespołu Miłość. Grupa ta jest uważana za prekursora yassu, gatunku muzycznego, który miał być odpowiedzią na tzw. "polski jazz". Miłość nagrała sześć płyt, z czego dwie powstały we współpracy z wybitnym trębaczem Lesterem Bowie.
Równolegle Możdżer grał w zespole Zbigniewa Namysłowskiego i Eryka Kulma. W 1994 roku nagrał swoją pierwszą płytę z impresjami na tematy Chopina. Później przyszła kolej na następne nagrania, zarówno solowe, jak i w zespołach. Od tego czasu Możdżer nagrywa z najlepszymi muzykami na świecie: Olo Walicki, Adam Pierończyk, Lars Danielsson, Zohar Fresco, David Gilmour, Anna Maria Jopek.
Oprócz muzyki jazzowej Możdżer cały czas uprawia muzykę klasyczną i współczesną. Warto wspomnieć jego kolaborację z wiolonczelistą Adamem Klockiem i wiolonczelową grupą CelloNet pod kierownictwem Andrzeja Bauera. Nagrywa również ze Zbigniewem Preisnerem i Janem A.P. Kaczmarkiem.
Leszek Możdżer jest artystą wszechstronnym. Oprócz wszystkich projektów jazzowych i poza-jazzowych zajmuje się jeszcze przedstawieniami teatralnymi. Najbardziej wartymi wspomnienia są spektakle: "Sen nocy letniej" zrealizowany w konwencji trans-opery, "Psychosis 4.48" i przedstawienie "Scat, czyli od pucybuta do milionera", w którym postacie porozumiewają się wyłącznie za pomocą nie do końca logicznie poskładanych sylab.
Sylwester Latkowski towarzyszył Leszkowi Możdżerowi z kamerą przy realizacji "Snu nocy letniej". W ten sposób powstał film "Pub 700". Słynący z kontrowersyjnych pomysłów reżyser przedstawił Możdżera nie tylko jako wybitnego artystę, ale też jako człowieka borykającego się z codziennymi problemami.