Henryk Szost urodził się 20 stycznia 1982.
Karierę sportową zaczynał od biegów narciarskich, później zaczął startować w biegach górskich i ulicznych. W 2006 wziął udział w mistrzostwach świata w biegach ulicznych zajmując w Debreczynie odległe miejsce. Na dystansie maratońskim zadebiutował 15 kwietnia 2007 w Dębnie zostając wicemistrzem Polski. Rok później na tej samej trasie zdobył złoto i osiągnął wynik 2.11:59 s. dający ma prawu występu na igrzyskach olimpijskich w Pekinie - podczas igrzysk Szost zajął 34. miejsce. Bez większych sukcesów wystartował w 2009 w wojskowych mistrzostwach świata rywalizując w biegu na 5000 metrów. Wypełnił minimum kwalifikacyjne do mistrzostw świata w Berlinie (2009) jednak na obozie przed imprezą doznał kontuzji i nie wystartował w stolicy Niemiec.
W 2010 nie ukończył rywalizacji w biegu maratońskim na mistrzostwach Europy oraz zdobył w październiku złoty medal mistrzostw świata wojska w maratonie (Polacy w składzie Szost, Arkadiusz Gardzielewski i Michał Kaczmarek zdobyli także złoto w rywalizacji drużynowej). Wybrany lekkoatletą października 2011 w plebiscycie European Athletics po uzyskaniu w maratonie we Frankfurcie nad Menem czasu 2.09:39 s. 4 marca 2012 w Ōtsu podczas maratonu Lake Biwa uzyskał wynik 2.07:39 s. poprawiając dziewięcioletni rekord Polski na tym dystansie.
Wielokrotny medalista mistrzostw Polski seniorów ma w dorobku cztery złote medale (Piła 2006 - półmaraton, Poznań 2007 - bieg na 5000 metrów, Dębno 2008 - maraton oraz Warszawa 2012 - bieg na 5 kilometrów), sześć srebrnych (Police 2005 - bieg przełajowy; Międzyzdroje 2006 - bieg na 10 000 metrów; Dębno 2007 - maraton; Olszyna 2009 - bieg przełajowy; Kędzierzyn-Koźle 2009 - bieg na 10 000 metrów; Piła 2011 - półmaraton) oraz jeden brązowy (Bydgoszcz 2007 - bieg przełajowy).
Jest żołnierzem Wojska Polskiego w stopniu starszego szeregowego w Zespole Sportowym Sił Powietrznych w Poznaniu.
aj