Mało kto, może poza wąskim kręgiem specjalistów w zakresie logiki matematycznej, niektórych dyscyplin filozoficznych czy teoretycznej części nauk ścisłych, pamięta, że w styczniu bieżącego roku minęła trzydziesta rocznica śmierci Kurta Gödla, wybitnego austriackiego logika. Dla nauki to postać ważna, umieszczana w jednym rzędzie z tak wielkimi przedstawicielami racjonalizmu jak Platon i Leibniz.
Życie „Pana Dlaczego”
Urodzony 28 kwietnia 1906 roku w rodzinie przemysłowców niemieckiego pochodzenia, w austro-węgierskim Brnie Kurt Gödel od najmłodszych lat przejawiał ponadprzeciętne zdolności umysłowe. Od dziecka nie przestawał zadawać pytań – stąd przezwisko „Herr Warum”. Biografowie podają, że na jego szkolnych świadectwach widniały zawsze najwyższe stopnie ze wszystkich przedmiotów, z wyjątkiem jednej oceny, jaką otrzymał tylko raz, i to z matematyki, która była jedynie o stopień niższa od najwyższej. Młody Kurt miał w czasach szkolnych jedynie dwóch bliskich kolegów. Jego główne zainteresowania, którym poświęcał najwięcej czasu, obejmowały matematykę, fizykę i języki obce.
Studiował na uniwersytecie w Wiedniu, gdzie w 1929 roku obronił doktorat pod kierunkiem Hansa Hahna, matematyka zajmującego się topologią i analizą funkcjonalną, który poznał Gödla z członkami Koła Wiedeńskiego, naukowcami i filozofami głoszącymi m.in. pozytywistyczny postulat „oczyszczenia” nauki z pozostałości metafizyki. W 1930 roku odbyła się w Królewcu konferencja, na której Gödel przedstawił wyniki swoich prac badawczych: obok twierdzenia o pełności logiki pierwszego rzędu – twierdzenia o niezupełności arytmetyki, które pozwoliły zakwestionować z optymizmem rozwijany program formalizacji matematyki zaproponowany przez Davida Hilberta. Znamienne, że w okresie po publikacji swojej najbardziej znanej pracy z 1931 roku (Über formal unentscheidbare Sätze der Principia Matematica und vervandter Systeme I) młody logik popadł w depresję. Okresowe kłopoty ze zdrowiem psychicznym, przejawiające się także paranoją, podejrzeniami kierowanymi wobec domniemanych „wrogów” o zamiar otrucia go, będą towarzyszyć Gödlowi do końca życia.
Czas drugiej wojny światowej przynosi emigrację naukowca wraz z żoną Adele do Stanów Zjednoczonych. Gödlowie osiedli w Princeton, gdzie pozostali do końca życia. W przeciwieństwie do Adele Kurt nigdy nie odwiedził już Europy. W USA Gödel pracował w Institute of Advanced Study założonym jeszcze w 1933 roku, którego w 1953 został profesorem. Jego zainteresowania skupiały się na zagadnieniach matematycznych (problem niezależności tzw. hipotezy continuum i aksjomatu wyboru od pozostałych aksjomatów teorii mnogości), filozofii Leibniza (uczestniczył w przedsięwzięciu sporządzenia i sprowadzenia do USA kopii rękopisów niemieckiego myśliciela), a także kosmologii (problem podróży w czasie). Przyjaźnił się z Oskarem Morgensternem, Albertem Einsteinem, Hao Wangiem.
Od lat pięćdziesiątych aż do śmierci w roku 1979 wielki logik pozostawał raczej na uboczu życia naukowego swojego środowiska, nie pojawiał się nawet po odbiór prestiżowych nagród, jak przyznany mu przez amerykańskiego prezydenta w 1975 roku National Medal of Science. Cierpiał na anoreksję, hipochondrię, miewał halucynacje. Umarł 17 stycznia w szpitalu, skrajnie wyczerpany i wygłodzony.
Matematyka i logika matematyczna
Wspomniany wcześniej program formalizacji matematyki, autorstwa D. Hilberta, sprowadzał się do postulatu zrekonstruowania całej matematyki – w tym także jej infinitystycznej części, odkrytej głównie przez Georga Cantora, jednego z największych badaczy dziedziny matematyki zwanej teorią mnogości – w jednym systemie formalnym. Taki system musi być niesprzeczny, jak również zupełny, to znaczy, po pierwsze, z dwóch zdań takich, że jedno jest negacją drugiego, tylko jedno może stanowić tezę systemu. Po drugie każde zdanie w tym systemie prawdziwe musi być jego twierdzeniem, to znaczy mieć dający się przeprowadzić w skończonej liczbie kroków (stąd mowa o metodzie finitystycznej) dowód. Gödel pokazał, że jeśli założymy niesprzeczność systemu matematycznego, a dokładniej systemu zawierającego tzw. arytmetykę Peano (w której podstawowe działania, jak dodawanie i mnożenie, charakteryzowane są za pomocą funkcji następnika), to nie będzie prawdą, iż system ten jest zupełny, można bowiem przy użyciu jego własnych środków skonstruować zdanie, które w tym systemie będzie nierozstrzygalne, to znaczy ani ono, ani jego negacja nie będzie miało dowodu, chociaż zdanie to będzie w tym systemie prawdziwe. Gödel wykorzystał wersję paradoksu kłamcy, gdyż jego zdanie w języku naturalnym można wyrazić jako mówiące „ja nie mam w tym systemie dowodu”. Jeśli to zdanie byłoby fałszywe, to miałoby dowód, a zatem, na mocy metasystemowych założeń każących wszystkie zdania mające dowód uznać za prawdziwe – byłoby ono wtedy prawdziwe. Ponieważ założenie fałszywości zdania gödlowskiego prowadzi do sprzeczności, zdanie to musi być prawdziwe (przynajmniej jeśli zakładamy zasadę dwuwartościowości), a więc jest tak, jak ono głosi. Z twierdzenia o niezupełności została wyciągnięta ważna konsekwencja, tzn. twierdzenie mówiące, że nie można udowodnić niesprzeczności danego systemu arytmetyki i a fortiori matematyki w nim samym.
Ważnym rezultatem, który pozwolił podważyć program Hilberta, było pokazanie, że pojęcie prawdziwości i pojęcie dowodliwości nie są koekstensywne. Mogą bowiem istnieć takie prawdy matematyczne, które, przynajmniej w danym systemie, nie mają dowodu. Czym wobec tego jest prawda w matematyce i jak jest poznawalna? Czy prawdy w matematyce są odkrywane w sposób intuicyjny, a dowody służą „rozjaśnieniu” pojęć matematycznych? Na czym miałaby polegać owa matematyczna intuicja? Jeszcze bardziej ogólnie: czy można wiedzieć, że dane zdanie jest prawdziwe, nie mając, przynajmniej na daną chwilę, odpowiedniego uzasadnienia jego prawdziwości w postaci dowodu?
Filozofia matematyki
Gödel uważał, że nie dokonałby swoich odkryć, gdyby nie żywił pewnych określonych poglądów na naturę przedmiotów matematyki i sposób ich poznawania. Już w latach trzydziestych deklarował się jako zwolennik platonizmu, czyli m.in. tezy, zgodnie z którą przedmioty matematyczne są rzeczywistymi bytami i są one niezależne od umysłów poznających podmiotów. Innymi słowy, nawet jeśli nie istniałby ani jeden matematyk na świecie, wciąż jednak istniałaby pewna szczególna dziedzina obiektów, które stanowią przedmiot wiedzy matematycznej. Te obiekty są dostępne w intuicji intelektualnej (niezmysłowej), tak jak przedmioty fizyczne są dostępne w doświadczeniu zmysłowym. Owa intuicja umożliwia „poznawczy kontakt” z przedmiotami matematyki oraz rozumienie pojęć matematycznych.
Platonizm w matematyce jest więc realizmem w sprawie istnienia przedmiotów matematyki i jako taki przeciwstawia się stanowisku, które głosi, że przedmioty matematyki są „tworami” zależnymi od naszych możliwości konstrukcyjnych (konstruktywizm). To ostatnie również uznaje intuicję za źródło poznania w matematyce, jednak rozumie przez nią coś innego. Na gruncie tego stanowiska mieć intuicję obiektu matematycznego to potrafić przedstawić sobie ten obiekt niezależnie od doświadczenia, jako coś jednostkowego. Kant i zwolennicy jego filozofii matematyki powiedzieliby w tym kontekście o apriorycznej naoczności. Nietrudno zauważyć, że konstruktywizm ogranicza obszar badań matematyki do tego, który jest dostępny naszemu (ludzkiemu, skończonemu) poznaniu, a to może być w taki bądź inny sposób ograniczone (np. tym, że nie jesteśmy w stanie przeprowadzać nieskończenie długich dowodów).
Konsekwencje filozoficzne twierdzeń Gödla
Wiele miejsca poświęcają komentatorzy tzw. filozoficznym konsekwencjom limitacyjnych twierdzeń Gödla. Mówi się, iż wskazują one na ograniczenia umysłów skończonych podmiotów poznających, przynajmniej w zakresie matematyki. Na ile istotne są to ograniczenia? Sam Gödel pokazał metodę budowania coraz bogatszych systemów przez dołączanie do ich aksjomatów zdań nierozstrzygalnych. Żadne zdanie nie musi zatem być nierozstrzygalne w sensie absolutnym, a tylko w pewnym systemie, nie oznacza to jednak, że można zdania nierozstrzygalne zupełnie wyeliminować – wydaje się, że procedura dołączania zdań nierozstrzygalnych do aksjomatów systemu i „wynajdywania” kolejnych zdań dla tego systemu nierozstrzygalnych mogłaby iść w nieskończoność.
Wskazuje się także, że rezultaty uzyskane przez austriackiego logika zadają śmiertelny cios tzw. programowi Leibniza, tzn. projektowi wynalezienia uniwersalnej procedury rozstrzygania prawdziwości każdej istotnej kwestii. Leibniz nawiązywał do koncepcji renesansowego autora Raimunda Lullusa, który chciał wynaleźć taki system symboliczny, w którym będzie można wyrazić każdą prawdę o rzeczywistości, nowe prawdy zaś będzie można „uzyskiwać” dzięki operacjom przeprowadzanym według określonych reguł na tych symbolach. Trudno zgodzić się z wyżej sformułowaną konsekwencją, i to moim zdaniem co najmniej z dwóch powodów. Po pierwsze Gödel sądził, że w zakresie poznania matematycznego nie znamy ostatecznych granic możliwości ludzkiego umysłu. Po drugie Leibniz dopuszczał nieskończone procedury dowodzenia prawdziwości przynajmniej niektórych zdań (były to tzw. prawdy o faktach, czyli zdania należące do wiedzy empirycznej, dla których zdaniem autora Monadologii nieskończony umysł dysponuje bądź, ostrożniej, dysponowałby odpowiednim dowodem). Innymi słowy całkiem możliwe, że projekt Leibniza zakrojony był dla umysłów trochę sprawniejszych niż umysły ludzkie przynajmniej na danym etapie ich rozwoju.
Wreszcie mówi się, że twierdzenia Gödla służą jako rozstrzygający argument w polemice z mechanicyzmem, czyli stanowiskiem, zgodnie z którym umysł ludzki nie różni się w sposób istotny od maszyny. Niektórzy, jak oksfordzki filozof J. R. Lucas, uważają, że dzięki wynikom Kurta Gödla teorie umysłu oparte o analogię komputerową skazane są na niepowodzenie. Wielokrotnie jednak wykazywano, że argumentacja samego Lucasa jest błędna. W końcu można by chyba postawić pytanie, czy nawet jeśli ludzki umysł zdaje się zawsze być w stanie podać więcej prawd niż maszyna, to czy z tego wynika, że działa w sposób niealgorytmiczny. Być może działa według algorytmu, który jeszcze nie został odkryty.
Dawid Humowicz
Literatura
J. W. Dawson, Logical Dilemmas. The Life and Work of Kurt Gödel, A. K. Peters, Massachusetts 1997.
S. Krajewski, Twierdzenie Gödla i jego implikacje filozoficzne, Wyd. IFiS PAN, Warszawa 2003.
K. Wójtowicz, Platonizm matematyczny. Studium filozofii matematyki Kurta Gödla, OBI-Biblos, Kraków-Tarnów 2002.
Semina Scientiarum, nr 3: „Wokół twierdzenia Gödla”, WN PAT, Kraków 2004.
