...jednospójność - własność „ścieśniania” pętli wystarczająco charakteryzuje zarówno sferę dwu-, jak i trójwymiarową...Zagadka, nad którą matematycy głowili się od 100 lat, została rozwiązana. Przebojem zdobyła najwyższą lokatę w rankingu kluczowych wydarzeń naukowych 2006 roku magazynu „Science”. Dowód hipotezy Poincarégo pozwala w nowy sposób spojrzeć na kształt Wszechświata. Możliwe, że zamieszkujemy na trójwymiarowej powierzchni w czterowymiarowym świecie, tylko nie jesteśmy w stanie tego dostrzec.
Jak to możliwe, że możemy żyć w błędnym przekonaniu co do kształtu Wszechświata? Sfera dwuwymiarowa (możemy ją sobie wyobrazić jako powierzchnię piłki/Ziemi) ma wspólną cechę ze sferą trójwymiarową. Każdą pętlę (elastyczną opaskę) na takiej powierzchni możemy ściągnąć do punktu, co jednoznacznie odróżnia ją od powierzchni w kształcie obwarzanka. Okazuje się, że jednospójność - własność „ścieśniania” pętli wystarczająco charakteryzuje zarówno sferę dwu-, jak i trójwymiarową (a ta druga istnieje tylko w przestrzeni czterowymiarowej).
Zainteresowanie czwartym wymiarem pojawiło się w XIX w., gdy matematycy zaczęli systematyczniej badać obiekty wielowymiarowe. Osiągnęło apogeum, gdy okazało się, że w fizycznych teoriach istotną rolę odgrywa czasoprzestrzeń - przestrzeń czterowymiarowa, a czysta abstrakcja miała szansę uzyskać bardziej realne kształty. „Fizyka bada ten świat, natomiast matematyka – światy możliwe”, powiedział kiedyś Clifford Taubes. Do opisów tych potencjalnych światów najlepiej nadają się obiekty znane w matematyce pod nazwą rozmaitości, które są pewnego rodzaju uogólnieniem powierzchni. Matematyczna definicja mówi, że rozmaitość topologiczna wymiaru n to obiekt spójny (zatem - w jednym kawałku), który lokalnie wygląda jak n-wymiarowa przestrzeń euklidesowa. Rozmaitość dwuwymiarowa lokalnie przypomina płaszczyznę, trójwymiarowa zaś - przestrzeń. Powierzchnia Ziemi może z dużym przybliżeniem służyć za przykład rozmaitości. Na co dzień nie odczuwamy zakrzywienia naszej planety i nie musimy pamiętać, że jest kulą. Rozmaitości w wymiarach mniejszych od 3 zostały gruntownie zbadane już w XIX w.
Podstawowa hipoteza Poincarégo dotyczy natury przestrzeni trójwymiarowych. Wszechstronny francuski matematyk, fizyk i filozof, Jules Henri Poincaré, pozostawił potomnym karkołomne zadanie. Matematycy zmagali się z jego hipotezą od 1904 roku. „To centralny problem zarówno matematyki, jak i fizyki, ponieważ wiąże się z pytaniem, jaki jest kształt Wszechświata – wyjaśnia Marcus Du Sautoy z Oxford University. – Wielu było naukowców, którzy ogłaszali, jak się potem okazywało, nieprawidłowe dowody hipotezy. Wśród nich - najtęższe umysły XX w. Obsesja na punkcie rozwiązania tego problemu zyskała nawet żartobliwą nazwę – Poincaritis, przez analogię do łacińskich nazw chorób...”
Gdy jakiegoś problemu długo nie udaje się rozstrzygnać, to zwykle uogólnia się go z nadzieją, że wtedy zauważy się coś, co umknęło naszej uwadze w sytuacji szczegółowej. Z taką nadzieją uogólniono hipotezę Poincarego, formułując ją dla sfery n-wymiarowej. Smale udowodnił w 1961 roku odpowiednik hipotezy Poincarégo dla wymiarów większych lub równych 5. Inny uczony Michael H. Freedman dokonał klasyfikacji jednospójnych rozmaitości czterowymiarowych w 1982 roku, a potem z tej klasyfikacji wyprowadził dowód czterowymiarowego odpowiednika hipotezy Poincarego.
Klasyczną hipotezę Poincarégo udowodnił dopiero w 2002 r. genialny rosyjski matematyk, dr Grigorij „Grisza” Perelman. Co więcej, udowodnił bardziej ogólną wersję problemu, nazywaną hipotezą geometryzacyjną Thurstona. Hipoteza Poincarego jest jej specjalnym przypadkiem. Za rozwiązanie zagadki uczony otrzymał najwyższe matematyczne wyróżnienie - Fields Medal 2006. A ponieważ hipoteza Poincarégo została uznana za jeden z matematycznych problemów milenijnych, to za jego rozwiązanie Rosjaninowi należy się nagroda wysokości miliona dolarów od amerykańskiego Instytutu Matematycznego Clay’a. Jednak absolutnie oddany nauce 40-letni naukowiec najwyraźniej gardzi splendorami i dobrami materialnymi, ponieważ ukrywa się i odmawia przyjęcia nagród... - To nietuzinkowa postać. Jest zdecydowanie przeciwny naukowemu gwiazdorstwu, zaszczytom i wszelkiemu zadęciu. Należy do grona szalonych wirtuozów matematyki, takich jak John Nash, sugestywnie sportretowany w filmie „Piękny umysł” – twierdzi Arthur Jaffe z Harvard University.
Grigorij Perelman urodził się i kształcił w Sankt Petersburgu. W wieku 16 lat został laureatem Międzynarodowej Olimpiady Matematycznej. Pracuje w Petersburskim Oddziale Instytutu Matematycznego im. Stiekłowa przy Fontance 27. Nad dowodem hipotezy Poincarégo głowił się przez 8 lat. W roku 2002 zamieścił w internecie pierwszą z trzech prac dotyczących rozwiązania problemu. Czwartą stronę najeżonego fachowymi terminami wprowadzenia kończyło znamienne zdanie: „Wreszcie, w rozdziale 13, podajemy krótki szkic dowodu hipotezy geometryzacyjnej”. Po krótkiej trasie wykładowej po USA, wiosną 2003 roku Perelman zamilkł i pozostawił matematykom z całego świata zadecydowanie, czy miał rację. „To naprawdę wielka chwila w matematyce. To mogło się zdarzyć za sto lat albo nigdy.” – tak podsumowuje trzy lata spędzone przy objaśnianiu pracy Perelmana Bruce Kleiner z Yale.
Hipoteza Poincarégo jest kluczem do gałęzi matematyki zwanej topologią. Topologia bada możliwości wzajemnych przekształceń figur geometrycznych, traktując je, jakby były z gumy. Jednym z podstawowych zadań topologii jest klasyfikacja zbiorów przy użyciu homeomorfizmów (rozmaitego wyginania powierzchni bez ich przerywania), a zbiory homeomorficzne zalicza się do tej samej grupy. Rozmaitości jednocześnie jednospójne i zwarte są (w każdym wymiarze) rozmaitościami najprostszymi. Rozmaitość jest zwarta, gdy jest domknięta i ograniczona. Jednospójna jest, gdy niezależnie od położenia pętli można w sposób ciągły zmniejszać tę pętlę aż do punktu, przy czym pętla nie wychodzi poza powierzchnię. W przypadku jednowymiarowym tego typu rozmaitości w ogóle nie ma, a jedyny możliwy przykład dwuwymiarowy to sfera. Henri Poincaré postawił hipotezę, że w trzech wymiarach jest tylko jedna taka rozmaitość: sfera trójwymiarowa. Perelman dowiódł „homeotopijnej jedyności sfery wśród rozmaitości”. Wersja dla nie-matematyków mogłaby brzmieć: „Z obwarzanka nie da się zrobić pączka” albo „Z opony nie da się zrobić dobrego globusa”. Wersja dla specjalistów: „Każda trójwymiarowa zwarta i jednospójna rozmaitość topologiczna bez brzegu jest homeomorficzna ze sferą trójwymiarową”.
Hipoteza Poincarego jest pierwszym rozwiązanym tzw. problemem milenijnym. W maju 2000 roku Instytut Matematyczny Clay’a, dla uczczenia nadejścia nowego tysiąclecia, ogłosił listę czekających na rozwiązanie siedmiu problemów, które ukierunkują rozwój nauk matematycznych w XXI w. Wszystkim ambitnym matematykom i informatykom, który chcą pójść w ślady Perelmana przypominamy, że wciąż czeka czeka na nich sześć zagadek i...gratyfikacja w wysokości miliona dolarów. Oto pozostałe do rozstrzygnięcia problemy milenijne:
1. Czy hipoteza Riemanna jest prawdziwa dla wszystkich rozwiązań? (częstotliwość liczb pierwszych, używanych do szyfrowania danych, jest powiązana z wartościami funkcji zespolonej zwanej funkcją zeta Riemanna, a wszystkie jej zera leżą na pewnej prostej)
2. rozwiązanie równań Naviera-Stokesa (które umożliwi opis i prognozowanie spokojnego i gwałtownego przepływu wody, wirów w wodzie, turbulencji, wiatru i tornada),
3. problem „P czy NP?” (związany z komputerowym łamaniem kodów, kolorowaniem map i układaniem harmonogramów - czy da się wszystkie problemy zgrupowane w klasie NP rozwiązać szybciej, aby znalezienie rozwiązania nie zajmowało więcej czasu niż sprawdzenie jego poprawności),
4. hipoteza Bircha i Swinnertona-Dyera (wiąże liczbę rozwiązań wymiernych równania algebraicznego z zachowaniem pewnej funkcji),
5. uporządkowanie matematycznych podstaw teorii Yanga-Millsa, które umożliwi postęp w fizyce cząstek elementarnych (model matematyczny cząstek elementarnych i ich oddziaływań m.in. fenomen „uwięzienia” kwarków, których nie można zaobserwować pojedynczo),
6. hipoteza Hodge'a (fragmenty niektórych specjalnych typów przestrzeni zwane cyklami Hodge’a są kombinacjami geometrycznymi cykli algebraicznych).
Agnieszka Labisko
